Question

9．判断函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+5）^{2}-4，x∈（-6，-1]}\\{（x-5）^{2}-4，x∈[1，6）}\end{array}\right.$的奇偶性．

Answer 1

分析 先判断函数的定义域是否关于原点对称，再逐段判断f（x）与f（-x）的关系，进而根据偶函数的定义，得到结论．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+5）^{2}-4，x∈（-6，-1]}\\{（x-5）^{2}-4，x∈[1，6）}\end{array}\right.$的定义域（-6，-1]∪[1，6）关于原点对称，
当x∈（-6，-1]时，-x∈[1，6），
此时f（x）=（x+5）²-4，f（-x）=（-x-5）²-4=（x+5）²-4，
即f（x）=f（-x）；
当x∈[1，6）时，-x∈（-6，-1]，
此时f（x）=（x-5）²-4，f（-x）=（-x+5）²-4=（x-5）²-4，
即f（x）=f（-x）；
综上，f（x）=f（-x）在定义域内恒成立，
故数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+5）^{2}-4，x∈（-6，-1]}\\{（x-5）^{2}-4，x∈[1，6）}\end{array}\right.$为偶函数

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数奇偶性的判断，难度中档．