题目内容

设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N*，函数 f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1cosx-an+2sinx满足f′（
π
2
）=0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=2（an+
1
2an
）求数列{bn}的前n项和Sn．
（I）∵f′（x）=an-an+1+an+2-an+1sinx-an+2cosx，f′(
π
2
)=0．
∴2an+1=an+an+2对任意n∈N*，都成立．
∴数列{an}是等差数列，设公差为d，∵a1=2，a2+a4=8，∴2+d+2+3d=8，解得d=1．
∴an=a1+（n-1）d=2+n-1=n+1．
（II）由（I）可得，bn=2(n+1+
1
2n+1
)=2（n+1）+
1
2n
，
∴Sn=2[2+3+…+（n+1）]+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n

=2×
n(2+n+1)
2
+
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2

=n2+3n+1-
1
2n
．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=1，且对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，则数列{an}的通项公式为（　　）
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（I）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式：
（Ⅱ）设（I）中的数列{an}的前n项和为Sn，试研究：是否存在实数a，使得数列Sn有连续的两项都等于50．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
（2013•日照一模）若数列{bn}：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如数列cn：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时
，则数列{cn}是公差为8的准等差数列．设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求证：{an}为准等差数列；
（Ⅱ）求证：{an}的通项公式及前20项和S20．
设数列{an}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx满足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，则数列{cn}的前n项和Sn为（　　）
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n
设数列{an}满足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，则A2013=（　　）

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