Question

已知函数f(x)=

ex-e-x

ex+e-x

，其中e为自然数．
（1）判定函数的奇偶性；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先证明定义域关于原点对称，再证明f（-x）=-f（x）即可；
（2）利用换元法设t=e^2x，将函数转化为分式函数，再利用分离常数法，由反比例函数的图象和性质求此函数的值域即可

解答：解：（1）∵e^x+e^-x＞0恒成立，∴f（x）的定义域为R
∵f（-x）=

e-x-ex

e-x+ex

=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）∵f(x)=

ex-e-x

ex+e-x

=

e2x-1

e2x+1

，设t=e^2x，t＞0，
∵f（t）=

t -1

t +1

=1-

2

t +1

，由t＞0，t+1＞1，0＜

2

t +1

＜2，
所以f（t）∈（-1，1），
即f（x）的值域为（-1，1）

点评：本题考查了奇函数的定义及其证明方法，换元法、分离常数法求复合函数值域的方法，转化化归的思想方法