Question

已知函数f（x）=2-2a^x-a^2x（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-1，2]时，函数f（x）的最小值为-6，求a的值并求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令 a^x=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．再根据 （t+1）²＞1，求得
函数f（x）的值域为．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得

1

a

≤t≤a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
区间[

1

a

，a²]上是减函数，根据函数f（x）的最小值为-6，求得a的值，进而求得函数取得最大值．
②当 0＜a＜1时，同理求得得a的值以及函数的最大值．

解答：解：（1）令 a^x=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．
由于 （t+1）²＞1，∴f（x）＜2，故函数f（x）的值域为（-∞，2）．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得，

1

a

≤t≤a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
区间[

1

a

，a²]上是减函数，
故当t=a²时，函数f（x）取得最小值为 3-（a²+1）²=-6，解得 a=

2

；故当t=

1

a

=

2

2

时，
函数取得最大值为

3

2

-

2

．
②当 0＜a＜1时，由x∈[-1，2]可得，

1

a

≥t≥a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在
区间[a²，

1

a

]上是减函数，
故当t=

1

a

时，函数f（x）取得最小值为 3-(

1

a

+1)2=-6，解得 a=

1

2

，
故当t=a²=

1

4

时，函数取得最大值为3-

25

16

=

23

16

．
综上可得，a的值等于

2

，函数f（x）的最大值为

3

2

-

2

；或者是a=

1

4

，函数的最大值为

23

16

．

点评：本题主要考查指数函数的性质应用，根据二次函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，
属于中档题．