Question

已知函数f(x)=x³+ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l:3x-y+1=0,若x=,y=f(x)有极值,

(1)求a,b,c的值;

(2)求y=f(x)在［-3,1］上的最大值和最小值.

Answer 1

解：(1)由f(x)=x³+ax²+bx+c,得f′(x)=3x²+2ax+b.                                          ?

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0.                                              ①?

当x=时，y=f(x)有极值，则f′()=0,可得4a+3b+4=0.                     ②?

由①②解得a=2,b=-4.                                                                                              ?

由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.∴c=5.                                    ?

(2)由(1)可得f(x)=x³+2x²-4x+5,∴f′(x)=3x²+4x-4.                                                ?

令f′(x)=0,得x=-2,x=.

x	［-3,-2)	-2	(-2,)		(,1］
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

?

∴f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=13,在x=处取得极小值f()=.?

f(-3)=8,f(1)=4,∴f(x)在［-3,1］上的最大值为13，最小值为.