Question

（本小题满分14分）

已知函数．

(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数；

(2)若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围；

(3)当且时，试比较的大小．

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．

(Ⅱ) ．

(Ⅲ)当时，>，即．

当时，∴，

当时，∴  。

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的 极值问题，以及函数的极值与不等式的综合运用和不等式的大小的比较。

（1）因为函数．，然后求解定义域和导数，根据参数a的范围求解函数在定义域内的极值点的个数；

(2)因为函数在处取得极值，则说明在该点处的导数值为零，然后分析，对,恒成立，转化为函数的最值问题，来求解实数的取值范围；

(3)当且时，要比较的大小，只要构造函数，运用导数的思想求解得到结论。

解：(Ⅰ)由已知的定义域为。，

当时，在上恒成立，函数 在单调递减，∴在上没有极值点；

当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．                  ········· 5分

(Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，

∴，                            ········ 7分

令，可得在上递减，在上递增，

∴，即．                  ·········· 9分

(Ⅲ)解：令，                        ······· 10分

由(Ⅱ)可知在上单调递减，则在上单调递减

∴当时，>，即．·········· 12分

当时，∴，

当时，∴                ········· 14分