题目内容
已知实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d其中a、b、c、d是实数.（1）若函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f(0)=-7,f′(0)=-18，求函数f(x)的表达式；
（2）若a、b、c满足b2-3ac＜0,求证：函数f(x)是单调函数.
解：（1）∵f(0)=-7,∴d=-7,
f′(x)=3ax2+2bx+c,f′(0)=-18,∴c=-18，
∴f′(x)=3ax2+2bx-18.
∵函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，
∴-1和3必是f′(x)=0的两个根.
∴
解得
∴f(x)=2x3-6x2-18x-7.
（2）f′(x)=3ax2+2bx+c,由条件b2-3ac＜0,可知a≠0,c≠0,
f′(x)为二次三项式，并且Δ=(2b)2-4(3ac)=4(b2-3ac)＜0,
∴当a＞0时，f′(x)＞0恒成立，此时函数f(x)是单调增函数;
当a＜0时，f′(x)＜0恒成立，此时函数f(x)是单调减函数，
∴对任意给定的非零实数a，函数f(x)总是单调函数.
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