题目内容

已知函数f（x）对一切x，y都有f（ab）=bf（a）+af（b）
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）是奇函数；
（3）若F（x）=af（x）+bx5+cx3+2x2+dx+3，已知F（-5）=7，求F（5）
（1）令a=b=0?f（0）=0f（0）+0f（0）=0?f（0）=0
（2）证明：令a=b=1?f（1）=0，令a=b=-1?f（1）=-2f（-1）?f（-1）=0
令b=-1?f（-a）=-f（a）+af（-1）=-f（a）?f（-x）=-f（x）
所以f（x）是奇函数；
（3）∵f（x）是奇函数，
∴F（x）-3-2x2=af（x）+bx5+cx3+dx也为奇函数，
∴F（-5）-3-2×（-5）2=-[F（5）-3-2×52]又因为F（-5）=7，
∴F（5）=-F（-5）+106=99，
即：F（5）=99．
练习册系列答案
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（2013•青岛一模）已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　）
（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又数列{an}满足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（an）的表达式；
（III）设bn=
1
2log2|f(an+1)
，Tn为数列{bn}的前n项和，若T2n+1-Tn≤
m
15
（其中m∈N*）对N∈N*恒成立，求m的最小值．
（2011•滨州一模）已知函数f（x）=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2
3
，f（C）=0，若向量
m
=（sinB，2）与向量
n
=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．
（2012•武清区一模）已知函数f（x）对任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，设M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax2+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，则实数a的取值范围是
1
2
≤a≤1
1
2
≤a≤1
．
（2013•内江一模）已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=0，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（　　）

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