题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为
，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．
（I）由题意知，4a=8，所以a=2．
因为e=
，
所以
=
=1-e2=
，
所以b2=3．
所以椭圆C的方程为
+
=1．
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以
+
=1，x02=
．
所以点O到直线AB的距离d=
=
．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由
消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．
由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以x1+x2=-
，x1x2=
．
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
所以(k2+1)
-
+m2=0．
整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离d=
=
=
为定值．
因为e=
| 1 |
| 2 |
所以
| b2 |
| a2 |
| a2-c2 |
| a2 |
| 3 |
| 4 |
所以b2=3．
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（II）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．
又A，B两点在椭圆C上，
所以
| x02 |
| 4 |
| x02 |
| 3 |
| 12 |
| 7 |
所以点O到直线AB的距离d=
|
2
| ||
| 7 |
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由
|
由已知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
所以x1+x2=-
| 8km |
| 3+4k2 |
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0．
所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
所以(k2+1)
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
| 8k2m2 |
| 3+4k2 |
整理得7m2=12（k2+1），满足△＞0．
所以点O到直线AB的距离d=
| |m| | ||
|
|
2
| ||
| 7 |
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