Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2+(1-a)x+ln

1

x

．其中a＞-1．
（Ⅰ）若f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当-1＜a≤2时，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数f′(x)=

(x-1)(ax+1)

x

，f（x）有两个极值点等价于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，直接由方程f′（x）=0有两个不等的正根列式求解a的取值范围；
（Ⅱ）分-1＜a＜0和a≥0两种情况讨论，当-1＜a＜0时，由导函数求出原函数的单调区间，得到f（x）在（0，1）、(-

1

a

，+∞)上递减，在(1，-

1

a

)上递增，求出极小值f（1）＞0，而取x=-

4

a

时函数值小于0，从而说明f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点；当a≥0时，求得函数的最小值为f（1），根据a与x的范围分析最小值的符号，从而得到f（x）的图象与x轴交点的情况．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

1

2

ax2+(1-a)x+ln

1

x

，得
f′(x)=ax+(1-a)-

1

x

=

ax2+(1-a)x-1

x

=

(x-1)(ax+1)

x

，x＞0．
f（x）有两个极值点等价于方程f′（x）=0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
等价于

a＞-1 a≠0 - 1 a ＞0 - 1 a ≠1

，解得-1＜a＜0．
∴实数a的取值范围是（-1，0）；
（Ⅱ）（1）当-1＜a＜0时，-

1

a

＞1，f′(x)=

a(x-1)(x+ 1 a )

x

，x＞0，
由

x＞0 f′(x)＜0

得，

x＞0 (x-1)(x+ 1 a )＞0

，解得0＜x＜1或x＞-

1

a

，
由

x＞0 f′(x)＞0

得，

x＞0 (x-1)(x+ 1 a )＜0

，解得1＜x＜-

1

a

，
从而f（x）在（0，1）、(-

1

a

，+∞)上递减，在(1，-

1

a

)上递增．
f(x)极小值=f(1)=1-

1

2

a＞1＞0．
而f(-

4

a

)=4+

4

a

-ln(-

4

a

)=

4(a+1)

a

-ln(-

4

a

)，
∵-1＜a＜0，∴

a+1

a

＜0，又-

4

a

＞4，∴ln(-

4

a

)＞0，从而f(-

4

a

)＜0．
又f（x）的图象连续不断，故当-1＜a＜0时，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
（2）当a≥0时，∵x＞0，∴ax+1＞0，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞1时，f′（x）＞0．
从而f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，f(x)min=f(1)=1-

1

2

a．
①若0≤a＜2，则f（x）_min＞0，此时f（x）的图象与x轴无交点．
②若a=2，则f（x）_min=0，f（x）的图象与x轴有且仅有一个交点．
综上可知，当-1＜a＜0或a=2时，函数f（x）有且仅有一个零点；
当0≤a＜2时，函数f（x）无零点．

点评：本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了函数的极值的求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的极值或最值分析函数的零点问题，是有一定难度题目．