Question

已知函数f(x)=

1

2x-1

+

1

2

．
（1）求f（x）的定义域；   
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的定义域可令分母2^x-1≠0求解，对函数的解析式进行变化，判断出值域即可值域；
（2）判断f（x）在（0，+∞）的单调性并证明，由解析式可以看出本函数在（0，+∞）是一个减函数，可由复合函数的单调性的判断方法判断证明即可．

解答：解：（1）令分母2^x-1≠0解得x≠0，故定义域为{x|x≠0}
函数的解析式可以变为 f(x)=1+

2

2x-1

，
由于2^x-1＞-1，故

1

2x-1

＜-1或

1

2x-1

＞0
故

2

2x-1

＞0或

2

2x-1

＜-2，
∴f(x)=

2x+1

2x-1

的取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）
（2）f（x）在（0，+∞）是一个减函数，证明如下：
由于 f(x)=

1

2x-1

+

1

2

，在（0，+∞）上，2^x-1递增且函数值大于0，

1

2x-1

在（0，+∞）上是减函数，
故 f(x)=

1

2x-1

+

1

2

在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查函数单调性的、函数的定义域与值域的求法，求解此类题的关键是对函数性质的证明方法了然于心，熟知其各种判断证明方法．