Question

2．若非零向量f（x）满足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$|$\overrightarrow{b}$|，且$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥（3\overrightarrow a+2\overrightarrow b）$，则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）⊥（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）$，便得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）=0$，进行数量积的运算，并带入$|\overrightarrow{a}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\overrightarrow{b}|$即可得到$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而得出$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{π}{4}$．

解答 解：根据条件，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•（3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）=3{\overrightarrow{a}}^{2}-|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$$-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=$\frac{8}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-2{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∴$\frac{8}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞-2=0$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 考查数量积的运算及其计算公式，向量夹角的概念及范围，以及已知三角函数值求角．