Question

已知函数f(x)=loga(3-ax2)在[0，3]上单调递增，则实数a的取值范围为

（0，

1

3

）

．

Answer 1

分析：将原函数f（x）=log_a（3-ax²）看作是函数：y=log_aμ，μ=3-ax²的复合函数，利用对数函数与二次函数的单调性来研究即可．注意对数的真数必须大于0．

解答：解：设μ=3-ax²，
则原函数f（x）=log_a（3-ax²）是函数：y=log_aμ，μ=3-ax²的复合函数，
①当a＞1时，y=log_au在（0，+∞）上是增函数，
而函数μ=3-ax²在[0，3]上是减函数，
根据复合函数的单调性，得函数f（x）在[0，3]上单调递减，与题意不符；
②当0＜a＜1时，y=log_au在（0，+∞）上是减函数，
函数μ=3-ax²在[0，3]上是减函数，
根据复合函数的单调性，得函数f（x）在[0，3]上单调递增，
且μ=3-ax²＞0在[0，3]上恒成立，
所以有

0＜a＜1 3-a•32＞0

，解得0＜a＜

1

3

．
综①②，得实数a的取值范围为（0，

1

3

）．
故答案为：（0，

1

3

）．

点评：本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，二次函数的单调性．是基础题．熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间，理解并掌握判断复合函数单调性的方法：同增异减．