Question

（09年海淀区期中文）（14分）

       设是定义在D上的函数，若对D中的任意两个实数，恒有，则称为定义在D上的T函数。

   （I）试判断函数是否为其定义域上的T函数， 并说明理由；

   （II）若函数是R上的奇函数，试证明不是R上的T函数；

   （III）若对任何实数以及D中的任意两个实数恒有

        ，则称为定义在D上的C函数。已知是R上的C函数，m是给定在正整数，设，且记。对于满足条件的任意函数，试求的最大值。

Answer 1

解析：（Ⅰ） 是T函数，　　　　……………………………２分

证明如下：

对任意实数（）

有

.

即.

∴是T函数.　……………………………４分

   （Ⅱ）假设是R上的T函数，取，.

则有.

是奇函数，

∴，.

∴. (＃)

同理,取，可证.

与(＃)式矛盾.

∴不是R上的T函数．　……………………………９分

   （Ⅲ）对任意

是R上的C函数，

    那么

    可证是C函数，且使得都成立，

    此时

    综上所述，的最大值为