Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上是增函数，那么y=

f(x2-3)+f(x+1)

的值域

1

．

Answer 1

分析：由奇函数的性质可得f（x）是定义在[-1，1]上是增函数，结合已知函数的定义域可知

-1≤x2-3≤1 -1≤x+1≤1

，解出x的范围后，进而求出-1≤x²-3≤1，-1≤x+1≤1-

2

，从而可求

解答：解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上是增函数
∴f（x）是定义在[-1，1]上是增函数
∴在y=

f(x2-3)+f(x+1)

中

-1≤x2-3≤1 -1≤x+1≤1

解可得，-2≤x≤-

2

此时有-1≤x²-3≤1，-1≤x+1≤1-

2

由函数f（x）在[-1，1]上是增函数可得，f（-1）≤f（x²-3）≤f（1），f（-1）≤f（x+1）≤f（1）
两不等式相加可得，2f(-1)≤f(x2-3)+f(x+1)≤f(1)+f(1-

2

)
∵y≥0
∴0≤y≤

f(1)+f(1- 2 )

故答案为：[0，

f(1)+f(1- 2 )

]

点评：本题主要考查了函数的单调性在求解函数的值域中的简单应用，解题中要注意函数的定义域 的应用．