Question

4．已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且sin（2C-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{a+b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由sin（2C-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，利用诱导公式可得cos2C=-$\frac{1}{2}$，结合△ABC为锐角三角形，即可求得角C的大小；
（2）由正弦定理可得$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$2sin（A+\frac{π}{6}）$，由C=$\frac{π}{3}$，且三角形是锐角三角形可得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，结合正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由sin（2C-$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，得cos2C=-$\frac{1}{2}$，
又∵△ABC为锐角三角形，
∴2C=$\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{π}{3}$；
（2）$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{{sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）}}{{sin\frac{π}{3}}}$
=$\frac{{\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}$=$2sin（A+\frac{π}{6}）$，
由C=$\frac{π}{3}$，且三角形是锐角三角形可得$\left\{\begin{array}{l}A＜\frac{π}{2}\\ B＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$，即$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$sin（A+\frac{π}{6}）$≤1，
∴2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜$\frac{a+b}{c}$≤2，即$\sqrt{3}$＜$\frac{a+b}{c}$≤2．

点评 本题主要考查了诱导公式，正弦定理，正弦函数的图象和性质的综合应用，属于基本知识的考查．