Question

9．若函数f（x）=（2x²+ax）•e^x的单调递减区间为（-3，-$\frac{1}{2}$），则实数a的值为3．

Answer 1

分析 求f′（x）=[2x²+（4+a）x+a]e^x，e^x＞0，所以根据函数单调性和函数导数符号的关系即可得到不等式2x²+（4+a）x+a＜0的解为（-3，-$\frac{1}{2}$），所以x=-3，$-\frac{1}{2}$便是一元二次方程2x²+（4+a）x+a=0的两实根，从而根据韦达定理即可求出a．

解答 解：f′（x）=[2x²+（4+a）x+a]e^x；
∵f（x）的单调递减区间为（-3，$-\frac{1}{2}$）；
∴f′（x）＜0的解为$（-3，-\frac{1}{2}）$；
即2x²+（4+a）x+a＜0的解为（-3，$-\frac{1}{2}$）；
∴x=-3，-$\frac{1}{2}$是方程2x²+（4+a）x+a=0的两实根；
∴根据韦达定理$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4+a}{2}=-3-\frac{1}{2}}\\{\frac{a}{2}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴a=3．
故答案为：3．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，以及根据导数求函数单调区间的方法，一元二次不等式的解和对应一元二次方程根的关系．