Question

【题目】已知椭圆： （）过点， 、分别为其左、右焦点， 为坐标原点，点为椭圆上一点， 轴，且的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的离心率和方程；

（Ⅱ）设、是椭圆上两动点，若直线的斜率为，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由的面积为，得，结合求即可；

（Ⅱ）设直线的方程为，与联立， ， 到直线的距离为，结合韦达定理得，用均值不等式求最值即可.

试题解析：

（Ⅰ）因为椭圆： （）过点，所以，由轴，且的面积为，得，所以，即离心率.

因为，所以，

由解得（舍负），故椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为，与联立，

消去，整理得，

由 ，得，

， ，

故

，

易知点到直线的距离为，

则的面积

，

当且仅当，即时取“”，经检验，满足要求，

故面积的最大值为.