Question

已知椭圆

x2

2

+y2=1，直线x+y-4=0，及椭圆左准线l，椭圆上点P到x+y-4=0的距离为m，到l的距离为n，则m+

2

2

n的最小值为（　　）

• A、

  5 2

  2

• B、

  5

  2

• C、5
• D、5

  2

Answer 1

分析：设出P的坐标为（

2

cosα，sinα），根据椭圆方程找出椭圆的左准线方程，然后利用点到直线的距离公式表示出P到x+y-4=0的距离m，表示出P到准线l的距离n，把表示出的m与n代入m+

2

2

n中，然后利用三角函数的方法求出最小值即可．

解答：解：设P（

2

cosα，sinα），由椭圆的方程得到左准线l的方程为x=-2，
由题意得：m=

| 2 cosα+sinα-4|

2

，n=|

2

cosα+2|，
则m+

2

2

n=

| 2 cosα+sinα-4|

2

+

| 2 cosα+2|

2

≥

|2 2 cosα+sinα-2|

2

=

|3sin(β+α)-2|

2

（其中sinβ=

2 2

3

，cosβ=

1

3

）
当sin（β+α）=-1时，m+

2

2

n≥

5

2

=

5 2

2

，
所以m+

2

2

n的最小值为

5 2

2

．
故选A

点评：此题考查学生掌握椭圆的简单性质，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．