Question

已知函数f（x）=cos²x+

3

sinx•cosx+1
（Ⅰ）求y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求y=f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，f(x)=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+1
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin(2x+

π

6

)+

3

2

则y=f（x）的最小正周期为π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈z）得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
∴y=f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈z），
（Ⅱ）由0≤x≤

π

2

得，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，即1≤sin(2x+

π

6

)+

3

2

≤

5

2

，
∴所求的函数的最大值和最小值为：

5

2

、1．