Question

函数f（x）=ax²-2x+2对1＜x＜4恒有f（x）＞0，则a的取值范围是（　　）

• A．a≥-

  1

  2

• B．a＜-

  1

  2

• C．-

  1

  2

  ＜a＜

  1

  2

• D．a＞

  1

  2

Answer 1

分析：由题意知，需对实数a进行分类讨论，问题转化为求函数f（x）=ax²-2x+2在（1，4）上的最小值，让最小值大于0即可得到a的取值范围．

解答：解：当a＜0时，由于函数f（x）=ax²-2x+2开口向下，且对1＜x＜4恒有f（x）＞0，
则

f(1)≥0 f(4)≥0

即

a-2+2≥0 16a-8+2≥0

，则a无解；
当a=0时，由于函数f（x）=-2x+2为减函数，且对1＜x＜4恒有f（x）＞0，
则只需f（4）≥0，即-8+2≥0，则a无解；
当a＞0时，由于函数f（x）=ax²-2x+2开口向上，且对1＜x＜4恒有f（x）＞0，
则

f(1)≥0 f(4)≥0   f( 1 a )≥0

即

a-2+2≥0   16a-8+2≥0   a•( 1 a )-2( 1 a )+2＞0

，则a＞

1

2

；
综上可得参数a的范围为a＞

1

2

故答案为 D

点评：此题主要考查了二次函数在某区间上的最值，属于基础题．