Question

【题目】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（0，）（Ⅲ）2.

【解析】

解:(1)因为=,且c=,

所以a=,b==1.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)由题意知P(0,t)(-1<t<1).

由

得x=±.

所以圆P的半径为.

当圆P与x轴相切时,|t|=.

解得t=±.

所以圆心P的坐标是（0,±）.

(3)由(2)知,圆P的方程为x2+(y-t)2=3(1-t2).

因为点Q(x,y)在圆P上,

所以y=t±≤t+.

设t=cos θ,θ∈(0,π),

则t+=cos θ+sin θ=2sin（θ+）.

当θ=,即t=,且x=0时,y取最大值2.