Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常数a∈R）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞

2

x

（2）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=1时，原不等式可化为

(1-x)[(x+ 1 2 )2+ 3 4 ]

x

＞0，解之即可；
（2）分a=0与a≠0讨论，利用奇偶函数的定义判断即可．

解答： 解：（1）当a=1时，x²+

1

x

＞

2

x

，即x²＞

1

x

，即

(1-x)[(x+ 1 2 )2+ 3 4 ]

x

＞0，

解得：x＞1或x＜0；…（6分）
（2）当a=0时，f（x）=x²，
对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=（-x）²=x²=f（x），∴f（x）为偶函数．
当a≠0时，f（x）=x²+

a

x

（a≠0，x≠0），
取x=±1，得 f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，
∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．  …．（13分）

点评：本题考查分式不等式的解法，着重考查函数奇偶性的判定，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．