Question

将n²个数排列成n行n列的一个数阵，已知a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，该数列第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m（其中m∈R⁺）为公比的等比数列，
（Ⅰ）求第i行第j列的数a_ij；
（Ⅱ）求这n²个数的和．

Answer 1

分析：（I）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，得2m²=2+5m+1，解得m=3，由此能求出第i行第j列的数a_ij．
（Ⅱ）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+（a_n1+a_n2+…+a_nn）=

a11(1-3n)

1-3

+

a21(1-3n)

1-3

+…+

an1(1-3n)

1-3

=

1

4

n(3n+1)(3n-1)．

解答：解：（I）由a₁₁=2，a₁₃=a₆₁+1，
得2m²=2+5m+1，（2分）
解得m=3，或m=-

1

2

．（舍去）（4分）
∴a_ij=a_i1•m^j-1
=[2+（i-1）m]•m^j-1
=[2-（i-1）•3]•3^j-1
=（3i-1）•3^j-1．（6分）
（Ⅱ）S=（a₁₁+a₁₂+…+a_1n）+（a₂₁+a₂₂+…+a_2n）+（a_n1+a_n2+…+a_nn）（7分）
=

a11(1-3n)

1-3

+

a21(1-3n)

1-3

+…+

an1(1-3n)

1-3

（9分）
=

(3n-1)

2

(a11+a21+…+an1)（10分）
=

1

2

(3n-1)×

n(2+3n-1)

2

=

1

4

n(3n+1)(3n-1)（12分）

点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．