Question

【题目】如图，四棱锥中， ， 侧面为等边三角形， ， 。

（1）证明： ；

（2）求二面角的平面角的正弦值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得， 结合线面垂直的判断定理可得；

(2)首先找到二面角的平面角，然后结合几何关系可得二面角的平面角的正弦值为.

试题解析：

（1） 解：取 的中点 ，连结， ,则四边形 为矩形。

即： ， ,

因为侧面为等边三角形， ,所以，且

又因为，所以， ，

所以， ，而， ， ，所以。

（2） （2）过点 作 于，因为 ， ，所以，

又因为，即，

由平面与平面垂直的性质，知,

在 中，由 ，

得 ，所以 。

过点 作 于，取中点,连结 ，

则 为二面角的平面角，

因为 ， ，所以 ，所以 ,

在 中，由 ，求得 。

在 中， ， ,

所以 。

由 ，得 ，

即，解得，

所以 ,

故二面角的平面角的正弦值为 。