Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n=1，2，3，…，求
（Ⅰ）a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）a₂+a₄+a₆+…+a_2n的值．

Answer 1

分析：（I）由题设条件得a2=

1

3

S1=

1

3

a1=

1

3

，a3=

1

3

S2=

1

3

(a1+a2)=

4

9

，a4=

1

3

S3=

1

3

(a1+a2+a3)=

16

27

，再由an+1-an=

1

3

(Sn-Sn-1)=

1

3

an（n≥2），得an+1=

4

3

an（n≥2），由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（ II）由（ I）可知a₂，a₄，…，a_2n是首项为

1

3

，公比为(

4

3

)2项数为n的等比数列，由此能求出a₂+a₄+a₆+…+a_2n的值．

解答：解：（I）由a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n=1，2，3，…，
得a2=

1

3

S1=

1

3

a1=

1

3

，a3=

1

3

S2=

1

3

(a1+a2)=

4

9

，a4=

1

3

S3=

1

3

(a1+a2+a3)=

16

27

，（3分）
由an+1-an=

1

3

(Sn-Sn-1)=

1

3

an（n≥2），得an+1=

4

3

an（n≥2），（6分）
又a₂=

1

3

，所以a_n=

1

3

(

4

3

)n-2（n≥2），（8分）
∴数列{a_n}的通项公式为an=

1 n=1 1 3 ( 4 3 )n-2 n≥2

；（9分）

（ II）由（ I）可知a₂，a₄，…，a_2n是首项为

1

3

，公比为(

4

3

)2项数为n的等比数列，（11分）
∴a₂+a₄+a₆+…+a_2n=

1

3

•

1-( 4 3 )2n

1-( 4 3 )2

=

3

7

[(

4

3

)2n-1]（13分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．