题目内容

已知 f（x）= $数学公式$ sin2x-2sin²x，
（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）若x∈[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]，求f（x）的最大值及取得最大值时对应的x的取值．

解：（1）因为 f（x）= $\text{[math]}$ sin2x-2sin²x= $\text{[math]}$ sin2x+cos2x-1=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1，…（4分）
所以，函数的周期为T= $\text{[math]}$ =π，即函数f（x）的最小正周期为 π． …（5分）
令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得 kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+ $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]． …（7分）
（2）因为- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，得- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1． …（8分）
∴-2≤2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1≤1，…（10分）
所以，函数f（x）的最大值为1．…（12分）
此时，2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 x= $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1，由此求得函数的周期，令2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，解得x的范围，可得f（x）的单调递减区间．
（2）根据- $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ ，求得2x+ $\text{[math]}$ 的范围，可得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）-1的范围，即为函数的值域，从而求得函数的最大值．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性、周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．