Question

设非零复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅满足

其中S为实数且|S|≤2．
求证：复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．

Answer 1

【答案】分析：设=q，由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=（1+q+q²+q³+q⁴），故（q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，所以=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．由此进行分类讨论，能够证明复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
解答：证明：设=q，
由题设条件，得a₁（1+q+q²+q³+q⁴）=（1+q+q²+q³+q⁴），
∴（q⁴-4）（1+q+q²+q³+q⁴）=0，
∴=±2，或1+q+q²+q³+q⁴=0．
①若=±2，则，
∴S==±2[（q++）²-]，
∴由已知条件得（q++）²-∈R，且|（q++）²-|≤1．
令q++=h（cosθ+isinθ），则，
∴sin2θ=0．
-1≤h²（cos2θ+isin2θ）-≤1，
∴，
∴cos2θ＞0，∴θ=kπ，k∈Z．
∴q+∈R，再令q=r（cosα+isinα），r＞0．
则q+=（r+）cosα+i（r-）sinα∈R，
∴sinα=0，或r=1．
若sinα=0，则q=±r为实数，
此时q+≥2，或q+≤-2．
此时，q+≥5，或q+．
此时，由|（q++）²-|≤1，知q=-1，|a₁|=2．
若r=1，仍有|a₁|=2，故此五点在同一圆上．
②若1+q+q²+q³+q⁴=0，则|q|=1，
此时|a₁|=|a₂|=|a₃|=|a₄|=|a₅|，
故此五点共圆．
综上，复数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
点评：本题考查五点共圆的证明，具体涉及到复数、三角函数等知识点的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．