Question

已知函数f（x）=（

x-1

x+1

）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1-

x

）f^-1（x）＞a（a-

x

）对x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用反函数求解三步骤：1、解：解出x 2、换：x、y换位 3、标：标出定义域．先由y=（

x-1

x+1

）²，表示出x，最后互换x，y即可；
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，再利用函数单调性的定义研究f^-1（x₁）与f^-1（x₂）的大小关系．最后得出其在（0，1）上的单调性即可；
（3）先将原恒成立问题转化为（1+a）

x

+1-a²＞0对x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立问题，令t=

x

，最终转化为一次函数恒成立的问题解决即可．

解答：解：（1）由y=（

x-1

x+1

）²，得x=

1+ y

1- y

．
又y=（1-

2

x+1

）²，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f^-1（x）=

1+ x

1- x

（0＜x＜1）．
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则

x1

-

x2

＜0，1-

x1

＞0，1-

x2

＞0．
∴f^-1（x₁）-f^-1（x₂）=

2( x1 - x2 )

(1- x1 )(1- x2 )

＜0，
即f^-1（x₁）＜f^-1（x₂）．
∴f^-1（x）在（0，1）上是增函数．
（3）由题设有（1-

x

）

1+ x

1- x

＞a（a-

x

）．
∴1+

x

＞a²-a

x

，即（1+a）

x

+1-a²＞0对x∈[

1

16

，

1

4

]恒成立．
显然a≠-1．令t=

x

，
∵x∈[

1

16

，

1

4

]，∴t∈[

1

4

，

1

2

]．
则g（t）=（1+a）t+1-a²＞0对t∈[

1

4

，

1

2

]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a²是关于t的一次函数，
∴g（

1

4

）＞0且g（

1

2

）＞0，
即

1 4 (1+a)+1-a2＞0 1 2 (1+a)+1-a2＞0

解得-1＜a＜

5

4

．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题、函数单调性的判断与证明、反函数等知识．属于中档题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求．