Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

Answer 1

分析：（1）建立坐标空间直角坐标系，利用向量法证明D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求出平面ACD₁的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD₁的距离．
（3）求出面D₁EC和面ECD的法向量，利用法向量之间的夹角与二面角之间的关系确定AE的大小．

解答：解：（1）分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴，建立如图的坐标系，
∵AD=AA₁=1，AB=2，
∴A（1，0，0），A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），C（0，2，0）．
设E（1，t，0），
则

D1E

=(1，t，-1)，

A1D

=(-1，0，-1)，
∵

D1A

•

A1D

=(1，t，-1)•(-1，0，-1)=-1+1=0，
∴

D1A

⊥

A1D

，
即D₁E⊥A₁D．
（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，

D1C

=(0，2，-1)，
设面ECD₁的法向量为

n

=(x，y，z)，由

n ? D1E =0 n ? D1C =0

，
即

x+y-z=0 2y-z=0

，令y=1，则z=2，x=1，即

n

=(1，1，2)．
∵

AE

=(0，1，0)，
∴点A到面ECD₁的距离d=

| n ? AE |

| n |

=

1

12+12+22

=

1

6

=

6

6

．
（3）设AE=t，则E（1，t，0），设面D₁EC的法向量为

n

=(x，y，z)，则

CE

=(1，t-2，0)，.

D1C

=(0，2，-1)，

DD1

=(0，0，1)，
由

n ? D1E =0 n ? D1C =0

，得

2y-z=0 x+y(t-2)=0

令y=1，则z=2，x=2-t．，即

n

=(2-t，1，2)，
面ECD的法向量为

DD1

=(0，0，1)，
则由二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．
得cos

π

4

=

| n • DD1 |

| n || DD1 |

=

2

2

，即

2

(t-2)2+5

=

2

2

，
解得t=2+

3

（不合题意，舍去），或t=2-

3

．
∴当AE=2-

3

时，二面角D₁-EC-D的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查空间向量的基本应用，利用向量可以解决空间直线垂直和点到平面距离以及二面角的大小，考查学生的运算能力．