Question

甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有n个白球，m个黑球，（m≠n），现从两袋中各摸一个球，A：“两球同色”，B：“两球异色”，则P（A）与P（B）的大小关系为（　　）

• A、P（A）＜P（B）
• B、P（A）=P（B）
• C、P（A）＞P（B）
• D、视m，n的大小而定

Answer 1

分析：表示出P（A）与P（B）的表达式，从两袋中各摸一个球根据分步计数原理，有（m+n）（m+n）种办法，两球同色有mn种办法，根据古典概型公式，代入得到结果，最后比较大小时用到基本不等式．

解答：解：以A₁表示取出的都是白球．，A₂表示取出的都是黑球，则 A₁，A₂互斥且A=A₁∪A₂，
P（A）=P（A₁）+P（A₂）=

mn

(m+n)2

+

mn

(m+n)2

=

2mn

(m+n)2

．
以B₁表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，
B₂表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，
则B₁、B₂到斥且B=B₁∪B₂，
P（B）=P（B₁）+P（B₂）=

m2

(m+n)2

+

n2

(m+n)2

=

m2+n2

(m+n)2

．
由于m≠n，故2mn＜m²+n²．
故P（A）＜P（B）．
故选A．

点评：要用组合数表示事件的总数，题目做起来有点困难，为了叙述方便，我们把条件每实现一次，叫做进行一次试验，如果试验结果事先无法确定，并且可以重复进行，这种试验就叫做随机试验．我们做的概率问题就是一个随机试验．