Question

【题目】已知数列的首项，.

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求数列的前项和为.

Answer 1

【答案】(Ⅰ） ， ，

，又， ，

数列是以为首项，为公比的等比数列． …………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即， ……………7分

． ……………8分

设…， ① …………10分

则…，② ……………………11分

由①②得

…， ……12分

．又…． ……13分

【解析】试题分析：（1）由，可得，即可证明数列是等比数列；（2）由由（1）知， ，利用分组求和，再利用错位相减法，即可求出数列的前项和.

试题解析：（1） ， ， ，又， ， 数列是以为首项，为公比的等比数列．

（2）由（1）知，即， ．设…， ① 则…，② 由①②得， ．又…． 数列的前项和 ．

【 方法点睛】本题主要考查根据递推公式求数列的通项以及分组求和、错位相减法求数列的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.