Question

已知二次函数的图象以原点为顶点且过点(1，1)，反比例函数的图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，．

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)证明：当a＞3时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)由已知，设，由，得a=1， ∴． 设，它的图象与直线y=x的交点分别为A()，B， 由|AB|=8，得k=8，∴．故． (2)证明：由f(x)=f(a)，得，即． 在同一坐标系内作出和的大致图象如图，其中的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，的图象是以为顶点，开口向下的抛物线． 因此与的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解． 又∵，， 当a＞3时，， ∴当a＞3时，在第一象限的图象上存在一点(2，f(2))在图象的上方． ∴与的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解． 因此，方程f(x)=f(a)有三个实数解．