题目内容
已知二次函数y=x2，现取x轴上的点，分别为A1(1，0)，A2(2，0)，A3(3，0)，…，An(n，0)，…，过这些点分别作x轴垂线，与抛物线分别交于A′1，A′2，A′3，…，A′n…，记由线段A′nAn，AnAn+1，An+1A′n+1及抛物线弧A′n+1A′n所围成的曲边梯形的面积为an，
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)作直线y=
与A′nAn(n =1，2，3，…)交于Bn，记新的曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1，面积为bn，求
的前n项和Sn；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直线y=x，与A′nAn(n=1，2，3，…)交于Cn，记Rt△Cn+1An+1An面积与曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1面积之比为Pn，求证：P1+
。
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)作直线y=
与A′nAn(n =1，2，3，…)交于Bn，记新的曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1，面积为bn，求的前n项和Sn；(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直线y=x，与A′nAn(n=1，2，3，…)交于Cn，记Rt△Cn+1An+1An面积与曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1面积之比为Pn，求证：P1+
。 
解：(Ⅰ)
；
(Ⅱ)依题意，
，
，
∴
，
∴
，
∴
。
(Ⅲ)记直角三角形Cn+1An+1An面积为dn，
则
，
∴
，
∴
，
原式即证：
，
用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=1，右边=lna，左边＞右边，命题成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，命题成立，
即
，
当n=k+1时，
，
下证：
构造函数
，
，∴f（x）在
单调递增，
所以当
时，
，∴x＞ln（1+x），
∵
，
∴
，
故命题对n=k+1时也成立，
由①②得，
对任意n∈N*都成立，故原命题成立。
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