Question

（本小题满分14分） 
设是定义在上的偶函数，又的图象与函数的图象关于直线对称，且当时，．
（１）求的表达式；
（２）是否存在正实数，使的图象最低点在直线上？若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）
（2）使的图象最低点在直线上.

（1）当时，
上的关于直线对称的点为，   …………………2分
此时，代入，
得                 ………………………………5分
在上是偶函数，时， 
即                   ……………………………6分
（2）命题转化为：是否存在正实数，使的最小值是.         
在上是偶函数，只要考虑即可. ………………………………8分
，令.       ………………………………9分
（i）当时，，且，，
由此可知，，         
解得，矛盾.                      ………………………………11分
（ii）当时，，此时，是[0，1]上减函数，
所以           ………………………………13分
综上可知，使的图象最低点在直线上.   …………………14分