Question

已知：定义域为R的函数f(x)=ax-x3在区间(0，

2

2

)内是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的极小值为-2，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）=ax-x³进行求导，转化成f′（x）在（0，

2

2

）上恒有f′（x）＞0，求出参数a的取值范围．
（2）因为函数f（x）的极小值为-2，所以将极小值点的值代入代入到函数关系式中得到等式，解方程即可得a的值．

解答：解：（1）f′(x)=a-3x2，依题意x∈(0，

2

2

)时，f′(x)＞0，即a-3x2＞0恒成立．
∴a≥3×(

2

2

)2=

3

2

，所以a的范围是[

3

2

，+∞)（6分）
（2）令f′(x)=0，即a-3x2=0，得x=±

a 3

，(a≥

3

2

)．
当x变化时f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， a 3 ）	a 3	（ a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	极小值	↑	极大值	↓

∴x=-

a 3

时，f（x）取极小值．
故f（-

a 3

）=a•（-

a 3

）-（-

a 3

）³=-2解得：a=3．（14分）

点评：主要考查函数单调性的综合运用，函数的单调性特征与导数之间的综合应用能力，把两个知识加以有机会组合．特别，在研究函数的单调区间或决断函数的单调性时，三个基本步骤不可省，一定要在定义域内加以求解单调区间或判断单调性．