Question

已知函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x

，a＞0

 ，x1，x2是两个极值点，且|x1|+|x2|=2
（1）求证：0＜a≤1．（2）求证：|b|≤

4

9

3

．

Answer 1

分析：（1）先对函数进行求导，根据函数f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），可以得到△＞0且由韦达定理可得x₁+x₂，x₁x₂，把等式转化为关于x₁+x₂，x₁x₂的关系式，求出a、b的关系，即可求出a的范围；
（2）把a看成未知数x，求三次函数的最值，利用导数求极值，是b²最大值，开方可求|b|的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）
∴f′（x）=ax²+bx-a²（a＞0）
∵函数f（x）=

a

3

x³+

b

2

x²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴f'（x）=0有两不等实根x₁，x₂（x₁≠x₂），
∴△＞0，∴

1

4

b²+

4

3

a³＞0，恒成立，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-a，∵|x₁|+|x₂|=2，
∴（|x₁|+|x₂|）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴(-

b

a

)2+4a=4，则(-

b

a

)2=4-4a≥0
∴0＜a≤1
（2）根据（1）得b²=-4a³+4a²
设t=-4a³+4a²，则t′=-12a²+8a=-4a（3a-2）（0＜a≤1），
令t′＞0，得0＜a＜

2

3

，t′＜0，得

2

3

＜a＜1，
t在（0，

2

3

]是增函数，在（

2

3

，+∞）是减函数，
∴a=

2

3

取得t最大96，∴b²最大值为

16

27

，即|b|≤

4

9

3

．

点评：由原函数极值点的个数判断出导函数解的个数，利用判别式得参数的关系，用韦达定理把参数和解联系起来，韦达定理是个很好的“桥梁”，求最大值要先求极大值，三次函数一般用导数来求．