Question

已知函数f（x）=ln（1-x）（a∈R），e为自然对数的底数．
（1）求f（x）在区间[1-e²，1-e]上的最值；
（2）若n≥2（n∈N^*），试比较与e的大小，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1），设h（x）=x+ln（1-x），x∈R，
则，即h（x）在（-∞，0]上递增，故h（x）＜h（0）=a，
即对x∈[1-e²，1-e]，有h（x）＜a．
①当a＞0，有f（x）＞0，f（x）在[1-e²，1-e]上递增
故，．
②当a＜0，有f（x）＜0，f（x）在[1-e²，1-e]上递减，
故．
③当a=0，有f（x）=0，f（x）_min=f（x）_max=0．
（2）若n≥2（n∈N^*），猜想：．
证明如下：据（1）知当x≤0时恒有h（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
故

故．
分析：（1）对函数f（x）求导，利用导函数，当导函数为0时，求出函数的增减区间，即可求最值；
（2）对a分情况讨论，通过放缩不等式，使不等式变成已有的简单式子进行证明．
点评：本题主要考查了利用导数求最值以及不等式的证明，不等式的合理放缩是解题的关键．