Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D₁E⊥A₁D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁—EC—D的大小为？

Answer 1

解法1：（1）证明如下，∵AE⊥平面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E.

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故S_△AD1C=，而S_△ACE=.

∴V _D1-AEC=S_△AEC·DD₁=S_△AD1C·h.

∴,∴h=.

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，∴∠DHD₁为二面角D₁—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x，在Rt△D₁DH中，∵∠DHD₁=,∴DH=1.

∵在Rt△ADE中，DE=,∴在Rt△DHE中，EH=x,在Rt△DHC中,CH=，在Rt△CBE中，CE=.∴x+3=.

∴AE=2-3时，二面角D₁-EC-D的大小为.

解法2：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）

（1）因为=（1，0，1），（1，x,-1）=0,所以.

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而=（1，1，-1），=（-1，2，0）

=（-1，0，1），设平面ACD₁的法向量为n=(a,b,c)，则

也即得从而n=（2，1，2），

所以点E到平面AD₁C的距离为h=.

（3）设平面D₁EC的法向量n=(a,b,c),∴=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1),

由

令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴n=(2-x,1,2).

依题意cos=.

∴x₁=2+（不合，舍去），x₂=2-.

∴AE=2-时，二面角D₁—EC—D的大小为.