Question

给定函数 f（x）=-|x-2|•x，
（1）作出f（x）的草图；
（2）求f（x）的单调区间，并指出它在每一个区间上的单调性；
（3）求f（x）在区间[0，4]上的值域．

Answer 1

分析：（1）对x-2分x-2≥0与x-2＜0讨论去绝对值符号，作图即可；
（2）结合图象，可得到它在每一个区间上的单调性；
（3）由f（x）在[0，4]上的单调性可求得其值域．

解答：解：∵f（x）=-|x-2|•x=

-x2+2x(x≥2) x2-2x(x＜2)

=

-(x-1)2+1(x≥2) (x-1)2-1(x＜2)

，作图如下：
  
            
（2）f（x）的单调区间，并指出它在每一个区间上的单调性；
由f（x）的图象可知，f（x）的单调递减区间为：（-∞，1），（2，+∞）；递增区间为[1，2]；
（3）∵f（x）在[0，1]，[2，4]上单调递减，在[1，2]上单调递增，f（0）=f（2）=0，f（1）=-1，f（4）=-8，
∴f（x）_min=-8，f（x）_max=0；
∴f（x）在区间[0，4]上的值域为：[-8，0]．

点评：本题考查带绝对值的函数，关键在于作出其图象，注重数形结合思想与化归思想的考查，属于中档题．