Question

根据如图所示的程序框图，将输出的a，b值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，b₁，b₂，…，b_n，其中n∈N^*，n≤2010．
（I）分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）根据框图可知a_n+1=a_n+2整理得a_n+1-a_n=2，根据等差数列的定义判断出{a_n}为等差数列，进而根据等差数列的通项公式求得a_n，根据b_n+1=3b_n，整理得

bn+1

bn

=3判断出{b_n}为等比数列，根据首项和公比求得{b_n}的通项公式．
（II）根据（1）中求得的a_n和b_n，求得c_n，进而利用错位相减法求得答案．

解答：解：（I）依框图得，a_n+1=a_n+2，a₁=1，
即a_n+1-a_n=2，∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
又b_n+1=3b_n，b₁=3，
即

bn+1

bn

=3，∴数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列
∴b_n=3×3^n-1=3ⁿ

（II）由（I）得c_n=a_nb_n=（2n-1）•3ⁿ
∵数列{c_n}的前n和为T_n∴T_n=c₁+c₂+c₃++c_n-1+c_nT_n=1×3¹+3×3²+5×3³++（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ①
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹②
将①-②得：-2T_n=3+2×3²+2×3³+2×3⁴++2×3ⁿ-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=-3+2（3+3²+3³+3⁴++3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹
=-3+2×

3(3n-1)

3-1

-(2n-1)×3n+1=-2(n-1)×3n+1-6
T_n=（n-1）×3ⁿ⁺¹+3

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式，及数列求和问题．由等差数列和等比数列构成的数列常可用错位相减法求和．