Question

（2011•桂林一模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC，F为BB₁上一点，BF=BC=2，FB₁=1，D为BC中点，E为线段AD上不同于点A、D的任意一点．
（Ⅰ）证明：EF⊥FC₁；
（Ⅱ）若AB=

2

，是否存在E满足EF与平面FA₁C₁所成的角为arcsin

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6

？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得到AD⊥BC，取B₁C₁的中点D₁，连结DD₁，由三棱柱为直三棱柱得到D₁A₁，D₁B₁，D₁D所在直线两两垂直，以D₁为坐标原点建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，设出E的坐标，由向量

EF

，

FC1

的数量积等于0证得答案；
（Ⅱ）设这样的点E存在，利用AB=

2

求出A的坐标，E点的横坐标有了条件限制，求出平面A₁FC₁的一个法向量，把向量

EF

的坐标用含有E点横坐标的代数式表示，由EF与平面FA₁C₁所成的角为arcsin

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6

列式求出E点横坐标，与限制条件矛盾，从而说明假设错误．

解答：（Ⅰ）证明：如图，
∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
取B₁C₁的中点D₁，连结DD₁，∴DD₁∥BB₁，
又三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴DD₁⊥面A₁B₁C₁．
以D₁为坐标原点，D₁A₁，D₁B₁，D₁D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则D₁（0，0，0），C₁（0，-1，0），F（0，1，1）．
设E（t，0，3）．
则

EF

=(-t，1，-2)，

FC1

=(0，-2，-1)．
∵

EF

•

FC1

=1×(-2)+(-2)×(-1)=0，∴EF⊥FC₁；
（Ⅱ）设这样的点E存在．
∵AB=

2

，∴A1D1=AD=

AB2-BD2

=

2-1

=1．
则A₁（1，0，0），E（t，0，3）（0＜t＜1）．
∴

A1C1

=(-1，-1，0)，

A1F

=(-1，1，1)．
设平面A₁FC₁的一个法向量

n

=(x，y，z)．
由

n ⊥ A1C1 n ⊥ A1F

⇒

n • A1C1 =0 n • A1F =0

⇒

-x-y=0 -x+y+z=0

．
取y=-1，得x=1，z=2．
∴

n

=(1，-1，2)．
又

EF

=(-t，1，-2)，由EF与平面FA₁C₁所成的角为arcsin

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6

．
∴

30

6

=

| n • EF |

| n |•| EF |

=

|-t-1-4|

6 • t2+5

，
整理得：2t²-5t=0，解得：t=0或t=

5

2

．与0＜t＜1矛盾．
∴适合条件的点E不存在．

点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量判定两直线的垂直和求利用空间向量法求线面角，考查了计算能力，是中档题．