Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在区间[

1

2

，4]上的最大值与最小值的差为3，求a的值．

Answer 1

分析：本题要对字母a进行讨论．①a＞1时，原函数在[

1

2

，4]为单调增函数，在根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于a的方程即可求解②0＜a＜1 时，原函数在[

1

2

，4]为单调减函数，在根据最大值与最小值的差为3，即可列出关于a的方程即可求解

解答：解：①当a＞1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为增函数，
∴在[12，4]上函数f（x）的最小值，最大值分别为：f(x)min=f(

1

2

)=loga(

1

2

) f（x）_max=f（4）=log_a4，
∴loga4-loga(

1

2

)=3，
即log_a4+log_a2=log_a8=3，
而log₂8=3，
∴a=2； 
②当0＜a＜1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为减函数，
∴在[12，4]上函数f（x） 的最小值、最大值分别为 f（x）_min=f（4）=log_a4，f(x)max=f(

1

2

)=loga(

1

2

)，
∴loga(

1

2

)-loga4=3，
即loga(

1

2

)+loga(

1

4

)=loga(

1

8

)=3，
而log

1

2

(

1

8

)=3
∴a=

1

2

；
综上所述a=2 或a=

1

2

．

点评：本题考查了对数函数的单调性，要注意对a的进行讨论，属于基础题．