Question

【题目】己知二次函数（、、均为实常数，）的最小值是0，函数的零点是和，函数满足，其中，为常数.

（1）已知实数、满足、，且，试比较与的大小关系，并说明理由；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）；理由见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）由二次函数的性质及根与系数的关系可得到：①，②，③，求解方程组可得到的解析式，据此可得到的解析式，最后对与作差并化简变形即可比较大小；

（2）由（1）知，若，且，则，令，，其中且，满足上述条件，故，由此即可证明结论.

（1）由二次函数的最小值为0可知，①，

又的零点是和，

由根与系数的关系可得，②，③，

由①②③可得或（舍去），由可得，，

所以.

根据条件，，

则，

又，且，所以，

即；

（2）由（1）知，，

若，且，则，

令，，其中且，则，且，

所以，即，其中且，

即，，，，

故，得证.