Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）当时，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）3；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对任意恒成立，等价于对任意恒成立，，利用导数求得，从而可求整数的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函数， 当时，，利用对数的运算结合，化简即可得结论.

（Ⅰ），

函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，对任意恒成立，

即对任意恒成立．

令，则，

令，则，

所以函数在上单调递增．

，

方程在上存在唯一实根，且满足．

当时，，即，

当时，，即，

所以函数在上单调递减，在上单调递增．

，

，

故整数的最大值是3．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，是上的增函数，

当时，．

即．

整理，得．

．

即．

即．

．