Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，对任意n∈N^*，a_n+1=2a_n+1，b_n=log₂(a_n+1)都成立．

(Ⅰ)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(Ⅱ)证明：对于任意n∈N^*，都有＜2成立．

Answer 1

解：(1)∵a_n+1=2a_n+1，  ∴a_n+1+1=2(a_n+1)，∴{a_n+1+1}为等比数列．∴a_n+1；(a₁+1)·2^n-1，由a₁=1知，an=2ⁿ-1，b_n=log₂(2ⁿ-1+1)=n．

(Ⅱ)证明:，

∵，

∴

即,

∴.