Question

已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）²+（y+6）²=25．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由2mx-y-8m-3=0，知（2x-8）m-（y+3）=0，故

2x-8=0 y+3=0

，解得直线l恒过（4，-3），由点（4，-3）到圆心（3，-6）的距离d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜r=5，知不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．
（2）由0≤d≤

10

，知d的最大值为

10

．根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短．由此能求出直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．

解答：（1）证明：∵2mx-y-8m-3=0，
∴（2x-8）m-（y+3）=0，
∴

2x-8=0 y+3=0

，解得

x=4 y=-3

，
∴直线l恒过（4，-3），
∵点（4，-3）到圆心（3，-6）的距离d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜r=5，
故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．
（2）解：由（1）可知0≤d≤

10

，即d的最大值为

10

．
根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短．
∴当d=

10

时，
线段（即弦长）的最短长度为
2

25- 10 p2

=2

15

．（9分）
将d=

10

代入①可得m=-

1

6

，
代入直线l的方程，
得直线被圆C截得最短线段时l的方程为x+3y+5=0．（12分）

点评：本题考查直线与圆相交的证明，考查直线被圆截得的线段的最短长度以及此时直线的方程．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．