Question

已知函数()
（1）当a=2时，求在区间[e，e²]上的最大值和最小值；
(2)如果函数、、在公共定义域D上，满足<<，那么就称为、的“伴随函数”．已知函数，，若在区间（1，+∞）上，函数是、的“伴随函数”，求a的取值范围。

Answer 1

（1）的最大值为f（e²）=4e⁴+lne²=2+4e⁴，最小值为f（e）=2e²+lne=1+2e²；
（2）．

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对求导，判断函数的单调性，函数递增，则在区间2个端点处取得最大值和最小值；第二问，由新定义将题目转化为，在（1，+∞）上恒成立，对求导，对的根进行讨论，判断函数的单调性，求出最大值，令最大值小于0，同理，对求导，求最大值，需要注意如果最大值能够取到，则最大值小于0，若最大值取不到，则最大值小于等于0．
（1）当a=2时，，则
当x∈[e，e²]时，，即此时函数单调递增，
∴的最大值为f（e²）=4e⁴+lne²=2+4e⁴，最小值为f（e）=2e²+lne=1+2e²．      4分
（2）若在区间（1，+∞）上，函数是、的“伴随函数”，
即<<，令在（1，+∞）上恒成立，在（1，+∞）上恒成立，
因为
①若，由得
当，即时，在（x₂，+∞）上，有，此时函数单调递增，并且在该区间上有，不合题意．
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知在区间（1，+∞）上，有，不合题意．
②若a≤，则有2a  1≤0，此时在区间（1，+∞）上，有p'（x）＜0，此时函数p（x）单调递减，要使p（x）＜0恒成立，只需要满足，即可
此时，        9分
又，则h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）＜h（1）=，所以              11分
即a的取值范围是。              12分