Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：x-y-2=0相切，
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时，得到曲线C，与l₁垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求△OBD面积的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则，
圆C₁的方程为。  
（Ⅱ）设动点Q （x ，y ），，AN⊥x轴于N，，
由题意，，
所以，即：，
将代入，得。
（Ⅲ）时，曲线C的方程为，
设直线l的方程为y=-x+b，
设直线l与椭圆交点，
联立方程，得，
因为，解得，
且，
∵点O到直线l的距离，
，
∴ ，
（当且仅当即时取到最大值），
∴△OBD面积的最大值为。