Question

已知实数x，y满足不等式组Ω：

2x-y+2≥0 x+y≥2 x≤2.

（Ⅰ）作出不等式组Ω所表示的平面区域．
（Ⅱ）求z=3x-2y的最大值；
（Ⅲ）求t=

x2+y2

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二元一次不等式组表示平面区域，作出不等式组Ω所表示的平面区域．
（Ⅱ）利用z的几何意义，求z=3x-2y的最大值；
（Ⅲ）利用t的几何意义，求t=

x2+y2

的最小值．

解答：解：（Ⅰ）可行域如图所示：
（Ⅱ）令直线l：y=

3

2

x-

1

2

z，
则当直线l过点C（2，0）时，l的纵截距-

1

2

z取最小值，
此时z取最大值，且最大值为4．
（ⅱ）t=

x2+y2

表示可行域内的点（x，y）与原点O的距离．
过原点O作直线x+y=2的垂线，易知垂足在可行域上，
∴所求的最小值为tmin=

2

2

=

2

．

点评：本题主要考查线性规划的知识，利用目标函数的几何意义，是解决线性规划的基本方法，注意结合数形结合的思想进行求解．